Wasserstein Distance and the Rectifiability of Doubling Measures: Part I

Let $μ$ be a doubling measure in $\mathbb{R}^n$. We investigate quantitative relations between the rectifiability of $μ$ and its distance to flat measures. More precisely, for $x$ in the support $Σ$ of $μ$ and $r > 0$, we introduce a number $α(x,r)\in (0,1]$ that measures, in terms of a variant of the $L^1$-Wasserstein distance, the minimal distance between the restriction of $μ$ to $B(x,r)$ and a multiple of the Lebesgue measure on an affine subspace that meets $B(x,r/2)$. We show that the set of points of $Σ$ where $\int_0^1 α(x,r) \frac{dr}{r} < \infty$ can be decomposed into rectifiable pieces of various dimensions. We obtain additional control on the pieces and the size of $μ$ when we assume that some Carleson measure estimates hold. Soit $μ$ une mesure doublante dans $\mathbb{R}^n$. On étudie des relations quantifiées entre la rectifiabilité de $μ$ et la distance entre $μ$ et les mesures plates. Plus précisément, on utilise une variante de la $L^1$-distance de Wasserstein pour définir, pour $x$ dans le support $Σ$ de $μ$ et $r>0$, un nombre $α(x,r)$ qui mesure la distance minimale entre la restriction de $μ$ à $B(x,r)$ et une mesure de Lebesgue sur un sous-espace affine passant par $B(x,r/2)$. On décompose l'ensemble des points $x\in Σ$ tels que $\int_0^1 α(x,r) \frac{dr}{r} < \infty$ en parties rectifiables de dimensions diverses, et on obtient un meilleur contrôle de ces parties et de la taille de $μ$ quand les $α(x,r)$ vérifient certaines conditions de Carleson.

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